Численная реализация упругопластической модели грунта

Идеализация модели грунтового основания осуществляется следующим образом. Если при внешнем или внутренним воздействии усилий напряжение грунта характерного объема меньше предельного

, то связь между напряжениями и деформациями описывается законом Гука (рис. 5.1, область I), который для условий плоской деформации может быть записан в виде

,

. (5.1)

Здесь

; – плоские аналоги модуля деформации Е и коэффициента Пуассона n .

Предельные напряжения в области растяжения ограничиваются прочностью на растяжение

(рис. 5.1).

Таким образом, область I в зоне растяжения ограничивается напряжением

, а области сжатия – критерием прочности Кулона в виде:

,

                                                    (5.2)

где Rc – прочность на одноосное сжатие

; ,

где C, j – удельное сцепление и угол внутреннего трения.

Последовательность упругопластического решения следующая. Нагрузка прикладывается малыми ступенями в той последовательности, в какой происходит реальное воздействие. Напряжения

, деформации и перемещения узлов от каждой ступени накапливаются в специально отведенных полях.

Рис. 5.1 Схема модели грунта

Матрица жесткости системы (МЖС) формируется один раз и в процессе решения остается постоянной. Для каждой ступени нагружения решается система уравнений с вектором сил

, составленным из нагрузок данной ступени. По найденным с использованием соотношений Коши

,

,                                                             (5.3)

рассчитываются относительные деформации и по закону Гука “упругие” напряжения .

Найденные “упругие” напряжения суммируются с ранее накопленными в данном элементе:

,                                          (5.4)

вычисляются главные суммарные напряжения



и угол a между s1 и осью х

.                                           (5.6)

Производится сравнение с границами текучести (рис. 5.1).

Если определяемая точка с координатами попадает в пределы области упругости I, то значит, что элемент находится в упругом состоянии, корректировка напряжений не требуется.

Если точка оказывается вне контура текучести, то находятся “теоретические” напряжения в следующем порядке. Если точка суммарных напряжений Мп попадает в область II (основная область пластичности), то “теоретическая” точка Мпт лежит на пересечении границы текучести с прямой Мп и Мпт. Угол наклона b прямой

Мп Мпт определяется законом течения и задан. При равнообъемном течении поверхность пластического потенциала параллельна гидростатической оси, при этом .

При известных координатах точки МII

уравнение прямой Мп Мпт имеет вид:

.                                                  (5.7)

Уравнение предельной линии BC описано формулой (5.2). Совместное решение уравнений (5.7) и (5.2) относительно s1 и s3 дает координаты точки Мпт – теоретические напряжения:

;

.                                                        (5.8)



При поверхность пластического потенциала, к которой перпендикулярен вектор Мп Мпт, совпадает с границей текучести, т.е. закон является ассоциированным, при поверхность пластического потенциала параллельна гидростатической оси и течение является равнообъемным. Если точка суммарных напряжений попадает в область III (см. рис. 5.1, точка МIII), то , . Элемент будет разорван в направлении действия s3, а напряжение s1 снизится до . Для области IV ; ; . Наконец в области V, в которой элемент будет разорван по всем направлениям, .

Если параметры границ текучести с, и постоянны, то среда идеально пластическая. Если задать тот или иной закон расширения границы текучести (возрастание с и j ) до предельных значений, в зависимости от накопленной пластической деформации, то среда будет упрочняющейся. Если же границы текучести будут сужаться, то среда будет разупрочняющейся.

Разница между исходными суммарными и теоретическими напряжениями рассматривается как “начальные” главные напряжения . По приросту подсчитывается вектор начальных узловых сил , который добавляется к вектору узловых сил .

Начальные напряжения цикл за циклом в пределах шага накапливаются:

.                                                 (5.9)

Если необходимая точность достигнута, то прикладывается следующая ступень нагрузки, если нет, то вырабатывается признак продолжения итераций и программа возвращается вновь на вычисление узловых перемещений, но уже при новых значениях и . Если процесс расходящийся, то он заканчивается.

При реализации вышеприведенного алгоритма УП решения в программе “Геомеханика CREEP” рассмотрена изотропная среда с равнообъемным течением.




Содержание раздела

---

---