Численная реализация упругопластической модели грунта

Идеализация модели грунтового основания осуществляется следующим образом. Если при внешнем или внутренним воздействии усилий напряжение грунта характерного объема меньше предельного

, то связь между напряжениями и деформациями описывается законом Гука (рис. 5.1, область I), который для условий плоской деформации может быть записан в виде

. (5.1)

Здесь

;

– плоские аналоги модуля деформации Е и коэффициента Пуассона n .

Предельные напряжения в области растяжения ограничиваются прочностью на растяжение

(рис. 5.1).

Таким образом, область I в зоне растяжения ограничивается напряжением

, а области сжатия – критерием прочности Кулона в виде:

(5.2)

где Rc – прочность на одноосное сжатие

;

где C, j – удельное сцепление и угол внутреннего трения.

Последовательность упругопластического решения следующая. Нагрузка прикладывается малыми ступенями в той последовательности, в какой происходит реальное воздействие. Напряжения

, деформации

и перемещения

узлов от каждой ступени накапливаются в специально отведенных полях.

Рис. 5.1 Схема модели грунта

Матрица жесткости системы (МЖС) формируется один раз и в процессе решения остается постоянной. Для каждой ступени нагружения решается система уравнений с вектором сил

, составленным из нагрузок данной ступени. По найденным

с использованием соотношений Коши

, (5.3)

рассчитываются относительные деформации

и по закону Гука “упругие” напряжения

.

Найденные “упругие” напряжения суммируются с ранее накопленными

в данном элементе:

, (5.4)

вычисляются главные суммарные напряжения

и угол a между s1 и осью х

. (5.6)

Производится сравнение

с границами текучести (рис. 5.1).

Если определяемая точка с координатами

попадает в пределы области упругости I, то значит, что элемент находится в упругом состоянии, корректировка напряжений не требуется.

Если точка оказывается вне контура текучести, то находятся “теоретические” напряжения в следующем порядке. Если точка суммарных напряжений Мп попадает в область II (основная область пластичности), то “теоретическая” точка Мпт лежит на пересечении границы текучести с прямой Мп и Мпт. Угол наклона b прямой

Мп Мпт определяется законом течения и задан. При равнообъемном течении поверхность пластического потенциала параллельна гидростатической оси, при этом

.

При известных координатах точки МII

уравнение прямой Мп Мпт имеет вид:

. (5.7)

Уравнение предельной линии BC описано формулой (5.2). Совместное решение уравнений (5.7) и (5.2) относительно s1 и s3 дает координаты точки Мпт – теоретические напряжения:

;

. (5.8)

При

поверхность пластического потенциала, к которой перпендикулярен вектор Мп Мпт, совпадает с границей текучести, т.е. закон является ассоциированным, при

поверхность пластического потенциала параллельна гидростатической оси и течение является равнообъемным. Если точка суммарных напряжений попадает в область III (см. рис. 5.1, точка МIII), то

. Элемент будет разорван в направлении действия s3, а напряжение s1 снизится до

. Для области IV

;

. Наконец в области V, в которой элемент будет разорван по всем направлениям,

.

Если параметры границ текучести с,

постоянны, то среда идеально пластическая. Если задать тот или иной закон расширения границы текучести (возрастание с и j ) до предельных значений, в зависимости от накопленной пластической деформации, то среда будет упрочняющейся. Если же границы текучести будут сужаться, то среда будет разупрочняющейся.

Разница между исходными суммарными и теоретическими напряжениями рассматривается как “начальные” главные напряжения

. По приросту

подсчитывается вектор начальных узловых сил

, который добавляется к вектору узловых сил

.

Начальные напряжения цикл за циклом в пределах шага накапливаются:

. (5.9)

Если необходимая точность достигнута, то прикладывается следующая ступень нагрузки, если нет, то вырабатывается признак продолжения итераций и программа возвращается вновь на вычисление узловых перемещений, но уже при новых значениях

. Если процесс расходящийся, то он заканчивается.

При реализации вышеприведенного алгоритма УП решения в программе “Геомеханика CREEP” рассмотрена изотропная среда с равнообъемным течением.

Содержание раздела

Главная сайта